В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите периметр треугольника ABM, если медиана AM равена 17,2 см, а периметр треугольника ABC равен 113,6 см.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC и вершиной A, медиана AM делит основание BC пополам в точке M. Пусть длины сторон AB = AC = a, а основание BC = b. Тогда, по определению периметра треугольника, у нас есть:

\[ P_{ABC} = AB + AC + BC = a + a + b = 2a + b. \]

Мы знаем, что периметр треугольника ABC равен 113,6 см:

\[ 2a + b = 113,6. \]

Также, поскольку AM — медиана, она разбивает основание BC на два равных отрезка: BM и MC. Так, если M — середина BC, то BM = MC = \frac{b}{2}.

Для нахождения длины BM воспользуемся формулой для медианы: \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}. \]

Подставляем AB = AC = a и BC = b:

\[ 17.2^2 = \frac{2a^2 + 2a^2 - b^2}{4} = \frac{4a^2 - b^2}{4}. \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ 17.2^2 \cdot 4 = 4a^2 - b^2. \]

Посчитаем \( 17.2^2 \):

\[ 17.2^2 = 295.84, \]

Тогда:

\[ 4 \cdot 295.84 = 4a^2 - b^2. \]

Это дает нам уравнение:

\[ 1183.36 = 4a^2 - b^2. \tag{1} \]

Теперь у нас есть две системы уравнений: одно из периметра треугольника ABC, другое — из медианы.

Из уравнения (1) выразим \( b^2 \):

\[ b^2 = 4a^2 - 1183.36. \tag{2} \]

Теперь подставим (2) в (3):

\[ 2a + \sqrt{4a^2 - 1183.36} = 113.6. \]

Из этого уравнения можно выразить a, но оно достаточно сложное. Однако мы всё равно можем найти периметр треугольника ABM.

По правилам, периметр треугольника ABM будет равен:

\[ P_{ABM} = AB + AM + BM = a + 17.2 + \frac{b}{2}. \]

Чтобы найти b, выразим его из уравнения (3):

\[ b = 113.6 - 2a. \]

Теперь можем подставить b в выражение для периметра:

\[ P_{ABM} = a + 17.2 + \frac{113.6 - 2a}{2} = a + 17.2 + 56.8 - a = 74. \]

Таким образом, периметр треугольника ABM равен:

\[ \boxed{74}. \]