На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК=КС, СЕ : ED=2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а=АВ и b=AD.
Для решения этой задачи воспользуемся векторной алгеброй и свойствами параллелограмма.
Определяем векторы: Пусть векторы \( \mathbf{a} = \overrightarrow{AB} \) и \( \mathbf{b} = \overrightarrow{AD} \). Вектора \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) в параллелограмме равны \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{b} - \mathbf{a} \) соответственно.
Находим точки K и E:
- Поскольку \( BK = KC \), то точка K делит отрезок BC пополам, следовательно: \[ \overrightarrow{K} = \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{C} \]
Также учитывая, что \( \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \mathbf{a} \) и \( \overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + \mathbf{b} \), можем записать: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \mathbf{b} + \overrightarrow{A} + \mathbf{a} \right) = \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \]
- Для точки E, учитывая, что отношение \( CE : ED = 2 : 3 \), можем выяснить, что \( CE = \frac{2}{5} CD \) и \( ED = \frac{3}{5} CD \). Значит: \[ \overrightarrow{E} = \overrightarrow{C} + \frac{2}{5} (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{C} + \frac{2}{5} (\overrightarrow{A} + \mathbf{b} - \overrightarrow{C}) \] Подставляя \( \overrightarrow{C} \): \[ \overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + \mathbf{a} + \frac{2}{5} \left(\overrightarrow{A} + \mathbf{b} - (\overrightarrow{A} + \mathbf{a})\right) \] Упрощая, получаем: \[ \overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + \mathbf{a} + \frac{2}{5} (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \overrightarrow{A} + \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} - \frac{2}{5} \mathbf{a} = \overrightarrow{A} + \left(1 - \frac{2}{5}\right) \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \] Таким образом: \[ \overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \]
Находим векторы AK, AE и KE:
Вектор \( \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = \left( \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \right) - \overrightarrow{A} = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \)
Вектор \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A} = \left( \overrightarrow{A} + \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \right) - \overrightarrow{A} = \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \)
Для вектора \( \overrightarrow{KE} \): \[ \overrightarrow{KE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{K} = \left( \overrightarrow{A} + \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \right) - \left( \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \right) \] Упрощаем: \[ \overrightarrow{KE} = \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} - \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} - \left(\frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{1}{2} \mathbf{b}\right) \] Это можно привести к общему знаменателю: \[ = \left(\frac{3}{5} - \frac{5}{10}\right) \mathbf{a} + \left(\frac{2}{5} - \frac{5}{10}\right) \mathbf{b} = \frac{6 - 5}{10} \mathbf{a} + \frac{4 - 5}{10} \mathbf{b} = \frac{1}{10} \mathbf{a} - \frac{1}{10} \mathbf{b} \]
Таким образом, векторы:
- \( \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \)
- \( \overrightarrow{AE} = \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \)
- \( \overrightarrow{KE} = \frac{1}{10} \mathbf{a} - \frac{1}{10} \mathbf{b} \)
Эти выражения помогут вам с дальнейшим изучением векторной алгебры и свойств параллелограммов. Успехов в учёбе!
