Интеграл(2x+1)в 3 степени : x в квадрате dx
Для решения интеграла \(\int \frac{(2x + 1)^3}{x^2} \, dx\), начнем с того, что упростим выражение в числителе. Мы можем использовать биномиальную теорему для раскрытия куба:
\[ (2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1. \]
Теперь подставим это в интеграл, получим:
\[ \int \frac{(2x + 1)^3}{x^2} \, dx = \int \frac{8x^3 + 12x^2 + 6x + 1}{x^2} \, dx. \]
Разделим каждое слагаемое на \(x^2\):
\[ = \int \left(8x + 12 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}\right) \, dx. \]
Теперь можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:
- \(\int 8x \, dx = 4x^2 + C_1\),
- \(\int 12 \, dx = 12x + C_2\),
- \(\int \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln |x| + C_3\),
- \(\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C_4\).
Сложим все результаты:
\[ \int \frac{(2x + 1)^3}{x^2} \, dx = 4x^2 + 12x + 6 \ln |x| - \frac{1}{x} + C, \]
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ:
\[ \int \frac{(2x + 1)^3}{x^2} \, dx = 4x^2 + 12x + 6 \ln |x| - \frac{1}{x} + C. \]
