X⁴+6x²-27=0

Давайте решим уравнение \( X^4 + 6X^2 - 27 = 0 \).

Первым делом, заметим, что у нас квадратное уравнение по переменной \( Y = X^2 \). Подставим \( Y \) вместо \( X^2 \), тогда уравнение примет вид:

\[ Y^2 + 6Y - 27 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант. Дискриминант \( D \) определяется как:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = 6 \), и \( c = -27 \). Подставим эти значения:

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \]

Теперь, когда мы нашли дискриминант, он положителен, что означает, что уравнение имеет два различных решения. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ Y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ Y_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 12}{2} \]

Теперь найдем корни:

1. \( Y_1 = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( Y_2 = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)

Теперь вернемся к переменной \( X \). Поскольку \( Y = X^2 \), то:

1. Для \( Y_1 = 3 \): \[ X^2 = 3 \implies X = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad X = -\sqrt{3} \]

2. Для \( Y_2 = -9 \): \[ X^2 = -9 \implies X = \pm 3i \quad (\text{где } i \text{ — мнимое число}) \]

Таким образом, уравнение \( X^4 + 6X^2 - 27 = 0 \) имеет два вещественных корня: \( X = \sqrt{3} \) и \( X = -\sqrt{3} \), а также два комплексных корня: \( X = 3i \) и \( X = -3i \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!