найди корни уравнения z4-52×z2+576=0. В ответе запиши наименьший из корней

Для решения уравнения \( z^4 - 52z^2 + 576 = 0 \) сначала сделаем замену переменной. Обозначим \( u = z^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ u^2 - 52u + 576 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 1 \), \( b = -52 \), \( c = 576 \).

Подставим значения:

\[ D = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2704 - 2304 = 400. \]

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней:

\[ u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим наши значения:

\[ u_{1,2} = \frac{52 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{52 \pm 20}{2}. \]

Теперь найдём оба корня:

1. \( u_1 = \frac{52 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36, \)

2. \( u_2 = \frac{52 - 20}{2} = \frac{32}{2} = 16. \)

Теперь вернемся к переменной \( z \). Мы знаем, что \( u = z^2 \), следовательно:

1. Для \( u_1 = 36 \): \[ z^2 = 36 \Rightarrow z = \pm 6. \]

2. Для \( u_2 = 16 \): \[ z^2 = 16 \Rightarrow z = \pm 4. \]

Таким образом, получаем корни уравнения:

\[ z = 6, -6, 4, -4. \]

Из всех корней наименьший из них:

\(-6\).

Ответ: \(-6\).