Вертикальная гладкая спица прикреплена к горизонтальному столу. На спицу надета небольшая бусинка массой m. Бусинку удерживают на высоте l1 = 40 см от стола. К бусинке прикреплена невесомая нерастяжимая нить, которая продета через отверстие в столе, находящееся на расстоянии l2 = 30 см от основания спицы (см. рис.). К другому вертикальному концу нити прикреплен груз массой 2m. Бусинку отпускают, и она падает вниз вдоль спицы. Найдите скорость бусинки в момент, когда она достигнет основания спицы. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2 . В процессе движения системы нить остается натянутой, трение отсутствует. Ответ дайте в м/с, округлив его до десятых.
Давайте решим задачу шаг за шагом, используя закон сохранения энергии.
Определим начальные условия:
- Масса бусинки: \( m \)
- Высота бусинки от стола: \( l_1 = 0.4 \) м
- Высота отверстия в столе от основания спицы: \( l_2 = 0.3 \) м
- Масса груза: \( 2m \)
- Ускорение свободного падения: \( g = 10 \) м/с²
Графическая схема:
- Когда бусинка находится на высоте \( l_1 \), она имеет потенциальную энергию \( PE_1 = mgh_1 = mg \cdot 0.4 \).
- Когда бусинка достигает основания спицы (высота = 0), она теряет всю эту потенциальную энергию, и ее изменение высоты будет передаваться грузу.
Определение высоты груза:
- Начальная высота груза \( h_2 = l_1 - l_2 = 0.4 - 0.3 = 0.1 \) м.
- Потенциальная энергия груза на начальной высоте будет \( PE_2 = 2mg \cdot 0.1 \).
Применение закона сохранения энергии:
- Начальная потенциальная энергия бусинки будет передана в кинетическую энергию (KE) бусинки и потенциальную энергию груза, когда бусинка достигнет основания спицы.
- Потенциальная энергия груза изменится, поскольку он поднимется на \( l_1 - l_2 \) м, что равняется 0.1 м.
Получаем уравнение:
\[ mgh_1 = KE_{бусинки} + PE_{груза} \]
\[ mg(0.4) = \frac{1}{2} mv^2 + 2mg(0.1) \]
Упростим уравнение:
\[ mg(0.4) = \frac{1}{2} mv^2 + 0.2mg \]
Находя коэффициенты для разности, у нас получится:
\[ mg(0.4 - 0.2) = \frac{1}{2} mv^2 \]
\[ mg(0.2) = \frac{1}{2} mv^2 \]
Сократим \( m \) (поскольку м не равно нулю) и подставим \( g = 10 \) м/с²:
\[ 10 \cdot 0.2 = \frac{1}{2} v^2 \]
\[ 2 = \frac{1}{2} v^2 \]
Умножаем на 2:
\[ 4 = v^2 \]
Теперь возьмем корень из обеих сторон:
\[ v = \sqrt{4} = 2 \text{ м/с} \]
Таким образом, скорость бусинки в момент, когда она достигнет основания спицы, составляет 2.0 м/с.
