(х²-4х)²+9(х²-4х)+20=0
Чтобы решить уравнение \((x² - 4x)² + 9(x² - 4x) + 20 = 0\), давайте сначала сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть \(y = x² - 4x\). Тогда уравнение преобразуется в:
\[y² + 9y + 20 = 0\]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) для квадратного уравнения \(ay² + by + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[D = b² - 4ac\]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = 9\), \(c = 20\):
\[D = 9² - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1\]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:
\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm 1}{2}\]
Теперь вычислим корни:
- Для \(y_1\):
\[y_1 = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]
- Для \(y_2\):
\[y_2 = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]
Теперь мы имеем \(y_1 = -4\) и \(y_2 = -5\). Необходимо вернуться к переменной \(x\), подставив значения \(y\):
- Для \(y_1 = -4\):
\[x² - 4x + 4 = 0\] \[(x - 2)² = 0\]
Здесь мы получаем \(x = 2\) (дважды).
- Для \(y_2 = -5\):
\[x² - 4x + 5 = 0\]
Вычисляем дискриминант:
\[D = (-4)² - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\]
Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет вещественных решений.
Итак, единственные вещественные решения исходного уравнения:
\[x = 2\] (с кратностью 2).
Если есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
