Четырёхзначное число abcd будем называть автобиографическим, если в его десятичной записи, то есть среди цифр a,b,c и d ровно a нулей, b единиц, c двоек и d троек. Найдите все…

Четырёхзначное число \( abcd \) — автобиографическое число, если:

• \( a \) — это количество нулей в числе,
• \( b \) — это количество единиц в числе,
• \( c \) — это количество двоек в числе,
• \( d \) — это количество троек в числе.

Так как \( a, b, c, d \) являются цифрами числа, то их значения могут быть от 0 до 9.

Также учтем, что \( a \) не может быть нулем, так как это четырёхзначное число. То есть \( a \) должно быть от 1 до 4.

Наша задача — найти все возможные такие числа.

Для начала можно получить несколько ограничений:

1. \( a + b + c + d = 4 \) (так как число состоит из четырех цифр).
2. Помимо условий, что \( a \), \( b \), \( c \), и \( d \) — это количества определенных цифр, необходимо учитывать, что эти значения не могут превышать доступные им позиции.

Определим возможные варианты:

1. Пусть \( a = 1 \).

   • Этим мы ограничиваем количество нулей. Получаем, что \( b + c + d = 3 \).

2. Пусть \( a = 2 \).

   • Тогда \( b + c + d = 2 \).

3. Пусть \( a = 3 \).

   • Получим, что \( b + c + d = 1 \).

4. Пусть \( a = 4 \).

   • Это невозможно, так как число не может состоять из четырёх нулей.

Теперь проверим каждое из условий:

1. Для \( a = 1 \):

   • Варианты: \( b + c + d = 3 \):
     • Если \( b = 3, c = 0, d = 0 \) → число 1110 (они не подходят, так как 3 единицы).
     • Если \( b = 2, c = 1, d = 0 \) → число 1210 (подходит).
     • Если \( b = 2, c = 0, d = 1 \) → число 1021 (не подходит, 0 нулей).
     • Если \( b = 1, c = 2, d = 0 \) → число 2021 (не подходит, 2 двойки).
     • Если \( b = 1, c = 1, d = 1 \) → число 1112 (не подходит, 2 единицы).
     • Если \( b = 0, c = 3, d = 0 \) → 2000 (не подходит, 3 двойки).

2. Для \( a = 2 \):

   • Варианты: \( b + c + d = 2 \).
     • Если \( b = 2, c = 0, d = 0 \) → число 2200 (не подходит, 2 двойки).
     • Но если \( b = 0, c = 2, d = 0 \) → число 2002 (это подходит).

3. Для \( a = 3 \):

   • Будем проверять:
     • \( b + c + d = 1 \):
       • Если \( b = 1, c = 0, d = 0 \) → 3010 (не подходит, но по правилам подойдет).

В итоге проверяя всевозможные вариации, мы найдём только два автобиографических числа:

• 1210

Итак, все четырёхзначные автобиографические числа: 1210, 2020.