Теоремы сложения и умножения вероятностей. Решите задачу: В первой урне 4 белых и 3 чёрных шаров, а во 2 урне 7 белых и 8 чёрных шаров. Случайным образом вынимают из первой урны 1…

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим события, которые нам нужны. У нас есть две урны:

1. В первой урне 4 белых и 3 черных шара.
2. Во второй урне 7 белых и 8 черных шаров.

Теперь мы будем использовать теоремы сложения и умножения вероятностей, а также комбинаторику.

1) Вероятность того, что все шары одного цвета

Мы должны рассмотреть два случая: все белые и все черные.

Случай 1: Все шары белые

• Из первой урны вытаскиваем 1 белый шар. Вероятность этого: \[ P(\text{1 белый из 1 урны}) = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7} \]
• Из второй урны вытаскиваем 4 белых шара. Вероятность этого: \[ P(\text{4 белых из 2 урны}) = \frac{\binom{7}{4}}{\binom{15}{4}} = \frac{35}{1365} \]
• Общая вероятность: \[ P(\text{все белые}) = P(\text{1 белый из 1 урны}) \times P(\text{4 белых из 2 урны}) = \frac{4}{7} \times \frac{35}{1365} = \frac{140}{9555} \]

Случай 2: Все шары черные

• Из первой урны вытаскиваем 1 черный шар. Вероятность этого: \[ P(\text{1 черный из 1 урны}) = \frac{3}{7} \]
• Из второй урны вытаскиваем 4 черных шара. Вероятность этого: \[ P(\text{4 черных из 2 урны}) = \frac{\binom{8}{4}}{\binom{15}{4}} = \frac{70}{1365} \]
• Общая вероятность: \[ P(\text{все черные}) = P(\text{1 черный из 1 урны}) \times P(\text{4 черных из 2 урны}) = \frac{3}{7} \times \frac{70}{1365} = \frac{210}{9555} \]

Теперь суммируем вероятности обоих случаев: \[ P(\text{все одного цвета}) = P(\text{все белые}) + P(\text{все черные}) = \frac{140}{9555} + \frac{210}{9555} = \frac{350}{9555} \approx \frac{70}{1911} \]

2) Вероятность того, что только 3 белых шары

Для этой ситуации мы можем рассмотреть, что из второй урны будут 3 белых и 1 черный.

• Вероятность того, что из первой урны вытащим любой шар (белый или черный): \[ P(\text{из 1 урны любой}) = 1 \]
• Из второй урны вытаскиваем 3 белых и 1 черный шар. Вероятность этого: \[ P(\text{3 белых и 1 черный из 2 урны}) = \frac{\binom{7}{3} \cdot \binom{8}{1}}{\binom{15}{4}} = \frac{35 \cdot 8}{1365} = \frac{280}{1365} \]
• Общая вероятность: \[ P(\text{только 3 белых}) = P(\text{из 1 урны любой}) \times P(\text{3 белых и 1 черный из 2 урны}) = 1 \times \frac{280}{1365} = \frac{280}{1365} \]

3) Вероятность того, что хотя бы 1 белый шар

Для этой ситуации проще использовать дополнение. Сначала найдем вероятность того, что ни одного белого шара не вытянули.

• Вероятность того, что из первой урны вытащим черный шар: \[ P(\text{1 черный из 1 урны}) = \frac{3}{7} \]
• Вероятность того, что из второй урны вытаскиваем 0 белых (т.е. все черные). Нам нужно взять 4 черных шара: \[ P(\text{0 белых из 2 урны}) = \frac{\binom{8}{4}}{\binom{15}{4}} = \frac{70}{1365} \]
• Общая вероятность того, что белых шаров нет: \[ P(\text{0 белых}) = P(\text{1 черный из 1 урны}) \times P(\text{0 белых из 2 урны}) = \frac{3}{7} \times \frac{70}{1365} = \frac{210}{9555} \]

Теперь находим вероятность того, что хотя бы 1 белый шар: \[ P(\text{хотя бы 1 белый}) = 1 - P(\text{0 белых}) = 1 - \frac{210}{9555} = \frac{9555 - 210}{9555} = \frac{9345}{9555} \]

Таким образом, получили все необходимые вероятности:

1. Вероятность того, что все шары одного цвета: \(\frac{70}{1911}\)
2. Вероятность того, что только 3 белых шара: \(\frac{280}{1365}\)
3. Вероятность того, что хотя бы один белый шар: \(\frac{9345}{9555}\)