интеграл dx/cos²(3-8x)

Чтобы решить интеграл \(\int \frac{dx}{\cos^2(3 - 8x)}\), начнем с простых шагов.

1. Определим, что \(\cos^2\) можно выразить через \(\sec^2\). Заметим, что \(\frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)\).

   Мы можем переписать интеграл так: \[ \int \frac{dx}{\cos^2(3 - 8x)} = \int \sec^2(3 - 8x) \, dx \]

2. Используем формулу интегрирования функции \(\sec^2(x)\). Мы знаем, что: \[ \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C \] где \(C\) — константа интегрирования.

3. Теперь подставим \(3 - 8x\) вместо \(x\). Чтобы сделать это, нам надо будет учесть производную функции \(3 - 8x\): \[ \frac{d}{dx}(3 - 8x) = -8. \] Получается, что мы можем использовать замену переменной. Применим замену \(u = 3 - 8x\). Тогда \(dx = \frac{du}{-8}\).

   Подставляя в интеграл: \[ \int \sec^2(u) \cdot \frac{du}{-8} = -\frac{1}{8} \int \sec^2(u) \, du \]

4. Теперь интегрируем \(\sec^2(u)\): \[ -\frac{1}{8} \left(\tan(u) + C\right) = -\frac{1}{8} \tan(3 - 8x) + C. \]

Таким образом, окончательный результат для интеграла будет: \[ \int \frac{dx}{\cos^2(3 - 8x)} = -\frac{1}{8} \tan(3 - 8x) + C. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по интегралам или другим темам, не стесняйтесь задавать!