Найти предел lim x->1 x²-8x+7/x²-7x+6

Чтобы найти предел выражения \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 7x + 6}\), начнем с подстановки \(x = 1\) в числитель и знаменатель.

Подставим \(x = 1\) в числитель:

\[ 1^2 - 8 \cdot 1 + 7 = 1 - 8 + 7 = 0 \]

Теперь подставим \(x = 1\) в знаменатель:

\[ 1^2 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]

Оба числитель и знаменатель равны нулю, что дает неопределенность \(\frac{0}{0}\). Чтобы решить эту неопределенность, мы можем факторизовать как числитель, так и знаменатель.

Факторизуем числитель:

\(x^2 - 8x + 7\) можно разложить на множители:

\[ x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) \]

Факторизуем знаменатель:

\(x^2 - 7x + 6\) также можно разложить на множители:

\[ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \]

Теперь мы можем переписать предел:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 7)}{(x - 1)(x - 6)} \]

При \(x \neq 1\) можно сократить на \((x - 1)\):

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x - 7}{x - 6} \]

Теперь подставляем \(x = 1\):

\[ \frac{1 - 7}{1 - 6} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} \]

Итак, предел равен:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 7x + 6} = \frac{6}{5} \]