Пружина жёсткостью 100Н/м и массой 400г падает на землю с высоты 5м. На сколько сожмется пружина, если при ударе ееось останется вертикальной?
Для решения задачи о том, на сколько сожмётся пружина, давайте сначала найдём потенциальную энергию, которую пружина приобретёт при падении.
Вычислим потенциальную энергию пружины на высоте 5 м:
Потенциальная энергия \(E_p\) определяется по формуле: \[ E_p = m \cdot g \cdot h \] где:
- \(m\) = 0,4 кг (400 г),
- \(g\) = 9,81 м/с² (ускорение свободного падения),
- \(h\) = 5 м (высота).
Подставляем данные: \[ E_p = 0,4 \, \text{кг} \cdot 9,81 \, \text{м/с}² \cdot 5 \, \text{м} = 19,62 \, \text{Дж}. \]
Теперь воспользуемся формулой для энергии, запасаемой в пружине:
Когда пружина сжимается, она запасает энергию по формуле: \[ E_k = \frac{1}{2} k x^2, \] где:
- \(k\) = 100 Н/м (жесткость пружины),
- \(x\) = сжатие пружины (в метрах).
При достижении максимального сжатия потенциальная энергия будет равна упругой энергии пружины: \[ 19,62 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \cdot 100 \, \text{Н/м} \cdot x^2. \]
Решим уравнение для нахождения \(x\): \[ 19,62 = 50x^2. \] Разделим обе стороны на 50: \[ x^2 = \frac{19,62}{50} \approx 0,3924. \] Теперь найдём \(x\) извлекая корень: \[ x = \sqrt{0,3924} \approx 0,626 \, \text{м}. \]
Таким образом, пружина сожмётся приблизительно на 0,626 метра или 62,6 сантиметра.
