2x²+15x-7>2x

Чтобы решить неравенство \( 2x^2 + 15x - 7 > 2x \), начнем с переноса всех членов в одну сторону:

\[ 2x^2 + 15x - 7 - 2x > 0 \]

Это упрощается до:

\[ 2x^2 + 13x - 7 > 0 \]

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство \( 2x^2 + 13x - 7 > 0 \). Начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( 2x^2 + 13x - 7 = 0 \) с использованием дискриминанта.

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 2 \), \( b = 13 \), \( c = -7 \).

Подставим значения:

\[ D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) \] \[ D = 169 + 56 \] \[ D = 225 \]

Теперь, найдём корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-13 \pm 15}{4} \]

Это дает два корня:

1. \( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
2. \( x_2 = \frac{-28}{4} = -7 \)

Теперь у нас есть корни \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -7 \). Следующий шаг — определить, на каких интервалах функция \( 2x^2 + 13x - 7 \) положительна.

Проверим знаки в следующих интервалах:

1. \( (-\infty, -7) \)
2. \( (-7, \frac{1}{2}) \)
3. \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)

Выберем тестовые точки:

• Для интервала \( (-\infty, -7) \), например, \( x = -8 \): \[ 2(-8)^2 + 13(-8) - 7 = 128 - 104 - 7 = 17 > 0 \]

• Для интервала \( (-7, \frac{1}{2}) \), например, \( x = 0 \): \[ 2(0)^2 + 13(0) - 7 = -7 < 0 \]

• Для интервала \( (\frac{1}{2}, +\infty) \), например, \( x = 1 \): \[ 2(1)^2 + 13(1) - 7 = 2 + 13 - 7 = 8 > 0 \]

Таким образом, неравенство \( 2x^2 + 13x - 7 > 0 \) выполняется на интервалах:

\[ (-\infty, -7) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \]

Это и будет решением нашего неравенства.