в прямоугольном треугольнике ABC угол Cравен 90°.CosA=9:11 AC=45.Найти SinA, tgB, площадь и периметр треугольника ABC .
Для решения задачи в прямоугольном треугольнике ABC с углом C равным 90° и известными значениями, давайте определим все необходимые параметры.
Найдем SinA: Известно, что \( \cos A = \frac{9}{11} \). Используя тригонометрическую идентичность \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), можем найти \( \sin A \): \[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{9}{11}\right)^2 = 1 - \frac{81}{121} = \frac{40}{121}. \] Следовательно, \[ \sin A = \sqrt{\frac{40}{121}} = \frac{\sqrt{40}}{11} = \frac{2\sqrt{10}}{11}. \]
Найдем tgB: Углы A и B в прямоугольном треугольнике связаны, так как \( B = 90° - A \). Поэтому: \[ \tan B = \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}. \] Теперь подставим значения: \[ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{11}}{\frac{9}{11}} = \frac{2\sqrt{10}}{9}. \] Таким образом, \[ \tan B = \frac{9}{2\sqrt{10}}. \]
Найдем стороны треугольника ABC: Дано, что \( AC = 45 \). Поскольку \( \cos A = \frac{AB}{AC} \), можем найти \( AB \): \[ AB = AC \cdot \cos A = 45 \cdot \frac{9}{11} = \frac{405}{11} \approx 36.82. \] Теперь найдем \( BC \) с использованием \( \sin A \): \[ BC = AC \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{11} = \frac{90\sqrt{10}}{11} \approx 27.11. \]
Найдем площадь треугольника ABC: Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{405}{11} \cdot \frac{90\sqrt{10}}{11} = \frac{36450\sqrt{10}}{242} \approx 151.48\sqrt{10} \text{ (или около 478.76)}. \]
Найдем периметр треугольника ABC: Периметр \( P \) можно находить как сумму всех сторон: \[ P = AB + BC + AC = \frac{405}{11} + \frac{90\sqrt{10}}{11} + 45 = \frac{405 + 90\sqrt{10} + 495}{11} = \frac{900 + 90\sqrt{10}}{11}. \]
Теперь у нас есть значения:
- \( \sin A = \frac{2\sqrt{10}}{11} \)
- \( \tan B = \frac{9}{2\sqrt{10}} \)
- Площадь \( S \approx 478.76 \)
- Периметр \( P = \frac{900 + 90\sqrt{10}}{11} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, обязательно обращайтесь!
