log 3 (x²-7x+12)<log 3 20
Чтобы решить неравенство \( \log_3 (x^2 - 7x + 12) < \log_3 20 \), начнем с преобразования его. Логарифмы с одним и тем же основанием можно сравнивать, поэтому неравенство можно переписать следующим образом:
\[ x^2 - 7x + 12 < 20 \]
Теперь упростим это неравенство:
\[ x^2 - 7x + 12 - 20 < 0 \] \[ x^2 - 7x - 8 < 0 \]
Следующий шаг – найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \]
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2} = -1 \]
Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = -1 \). Эти корни делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 8) \)
- \( (8, +\infty) \)
Теперь нужно определить знак выражения \( x^2 - 7x - 8 \) в каждом из этих интервалов. Для этого можно выбрать тестовые точки.
Для интервала \( (-\infty, -1) \), пусть \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 7(-2) - 8 = 4 + 14 - 8 = 10 > 0 \] (положительный)
Для интервала \( (-1, 8) \), пусть \( x = 0 \): \[ 0^2 - 7(0) - 8 = -8 < 0 \] (отрицательный)
Для интервала \( (8, +\infty) \), пусть \( x = 9 \): \[ 9^2 - 7(9) - 8 = 81 - 63 - 8 = 10 > 0 \] (положительный)
Так что неравенство \( x^2 - 7x - 8 < 0 \) выполняется на интервале \( (-1, 8) \).
Не забудьте, что логарифм должен быть положительным, то есть \( x^2 - 7x + 12 > 0 \). Проверим это уравнение. Дискриминант этого уравнения равен \( 49 - 48 = 1 \), а его корни:
\[ x = \frac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 4, \, x_2 = 3 \]
Это неравенство справедливо для \( (-\infty, 3) \cup (4, +\infty) \).
Теперь нужно взять пересечение двух интервалов:
- \( (-1, 8) \)
- \( (-\infty, 3) \cup (4, +\infty) \)
Пересечение даст \( (-1, 3) \) и \( (4, 8) \).
Таким образом, окончательный ответ:
\[ (-1, 3) \cup (4, 8) \]
