"Найдите точку максимума функции y=x3-27x+150."

Привет! Да, давай разберёмся с твоим заданием по профильной математике.

1. Суть задачи: Нам нужно найти точку максимума функции \(y = x^3 - 27x + 150\). Чтобы это сделать, необходимо найти производную функции и определить, где она равна нулю. Эти точки могут быть максимумами или минимумами функции.

2. Правильное решение задачи:

   • Сначала находим производную: \[ y' = 3x^2 - 27 \]
   • Далее приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 27 = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies (x - 3)(x + 3) = 0 \] Получаем две критические точки: \(x = -3\) и \(x = 3\).
   • Теперь нам нужно определить, в какой из этих точек функция достигает максимума. Для этого проверяем знаки производной на интервалах между критическими точками:
     • Для интервала \( (-\infty, -3) \), подставляем \(x = -4\): \[ y'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 > 0 \quad \text{(возрастает)} \]
     • Для интервала \( (-3, 3) \), подставляем \(x = 0\): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0 \quad \text{(убывает)} \]
     • Для интервала \( (3, +\infty) \), подставляем \(x = 4\): \[ y'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 > 0 \quad \text{(возрастает)} \]
   • Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, -3) \) и \( (3, +\infty) \), а убывает на интервале \( (-3, 3) \). Это означает, что в точке \(x = -3\) у нас максимум.

3. Сравнение твоего ответа с правильным:

   • Ты указал, что "ученик не дал ответ на задание". Вместо этого правильный ответ: точка максимума находится в \(x = -3\).

4. Объяснение:

   • Волшебство заключается в нахождении производной функции. После нахождения производной мы её приравниваем к нулю и ищем критические точки. Далее нужно анализировать поведение функции: если производная меняет знаки с положительного на отрицательное, это значит, что точка является максимумом. В твоем случае, правильный ответ - \(x = -3\).

Если у тебя есть ещё вопросы, не стесняйся спрашивать! Понравилась ли тебе моя помощь? Оцени, пожалуйста, мой ответ лайком или дизлайком!