(6х ²-2х-20)(х+3)>0
Чтобы решить неравенство \( (6x^2 - 2x - 20)(x + 3) > 0 \), начнем с анализа каждого множителя.
Найдем корни первого множителя \( 6x^2 - 2x - 20 \). Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-20) = 4 + 480 = 484 \]
Теперь вычислим корни:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 22}{12} = \frac{24}{12} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 22}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3} \]
Таким образом, корни уравнения \( 6x^2 - 2x - 20 = 0 \) – это \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -\frac{5}{3} \).
Найдем корень второго множителя \( x + 3 \):
\[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \]
Теперь у нас есть три критических точки: \( -3, -\frac{5}{3}, 2 \).
Рассмотрим знаки произведения на промежутках, определенных этими точками:
Выберем тестовые точки из интервалов:
- \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \))
- \( -3 < x < -\frac{5}{3} \) (например, \( x = -2 \))
- \( -\frac{5}{3} < x < 2 \) (например, \( x = 0 \))
- \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \))
Подставим эти тестовые точки в неравенство \( (6x^2 - 2x - 20)(x + 3) \):
- Для \( x = -4 \): \( (6(-4)^2 - 2(-4) - 20)(-4 + 3) = (96 + 8 - 20)(-1) = 84(-1) < 0 \)
- Для \( x = -2 \): \( (6(-2)^2 - 2(-2) - 20)(-2 + 3) = (24 + 4 - 20)(1) = 8 > 0 \)
- Для \( x = 0 \): \( (6(0)^2 - 2(0) - 20)(0 + 3) = (-20)(3) = -60 < 0 \)
- Для \( x = 3 \): \( (6(3)^2 - 2(3) - 20)(3 + 3) = (54 - 6 - 20)(6) = 28(6) > 0 \)
Итак, мы получили знаки:
- \( (-\infty, -3) < 0 \)
- \( (-3, -\frac{5}{3}) > 0 \)
- \( (-\frac{5}{3}, 2) < 0 \)
- \( (2, +\infty) > 0 \)
Соберем окончательный ответ: Решения в данном неравенстве \( (6x^2 - 2x - 20)(x + 3) > 0 \) будут на промежутках:
\[ x \in (-3, -\frac{5}{3}) \cup (2, +\infty) \]
Это и есть искомое решение неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, пожалуйста, дайте знать!
