x³-8x²-x+8=0
Для решения уравнения \( x^3 - 8x^2 - x + 8 = 0 \) можно воспользоваться методом пробного деления или методом графиков. Давайте сначала попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях.
Поиск возможных корней: Возможные рациональные корни данного уравнения можно найти среди делителей свободного члена (в нашем случае 8) и делителей старшего коэффициента (в данном случае 1). Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.
Проверка возможных корней: Попробуем подставить \( x = 1 \): \[ 1^3 - 8 \cdot 1^2 - 1 + 8 = 1 - 8 - 1 + 8 = 0 \] Таким образом, \( x = 1 \) является корнем.
Деление многочлена: Теперь, когда мы нашли один корень, можем разделить многочлен \( x^3 - 8x^2 - x + 8 \) на \( x - 1 \) с помощью деления многочленов.
Записываем уравнение: \[ x^3 - 8x^2 - x + 8 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C) \] Используем метод подбора или синтетическое деление.
Синтетическое деление: Подставляем коэффициенты: \[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -8 & -1 & 8 \\ & & 1 & -7 & -8 \\ \hline & 1 & -7 & -8 & 0 \\ \end{array} \] Получили \( x^2 - 7x - 8 \).
Решаем оставшееся квадратное уравнение: Теперь решим \( x^2 - 7x - 8 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} \] Это дает: \[ x = \frac{7 \pm 9}{2} \] Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]
Итоговые корни: Итак, все корни уравнения \( x^3 - 8x^2 - x + 8 = 0 \): \[ x_1 = 1, \quad x_2 = 8, \quad x_3 = -1. \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
