(X-1)2*(x-5) <0
Чтобы решить неравенство \((x-1)^2 \cdot (x-5) < 0\), сначала определим, при каких значениях \(x\) левая часть неравенства отрицательна.
Найдите корни:
- \((x-1)^2 = 0\) дает корень \(x = 1\).
- \(x - 5 = 0\) дает корень \(x = 5\).
Определите знаки на промежутках: Мы имеем корни \(x = 1\) и \(x = 5\). Эти корни делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Проверка знаков: Теперь проверим знак выражения на этих интервалах.
Для интервала \((- \infty, 1)\): возьмем, например, \(x = 0\). \[ (0-1)^2 \cdot (0-5) = 1 \cdot (-5) = -5 < 0 \] Значит, на этом интервале выражение отрицательное.
Для интервала \((1, 5)\): возьмем, например, \(x = 3\). \[ (3-1)^2 \cdot (3-5) = 4 \cdot (-2) = -8 < 0 \] Значит, на этом интервале выражение также отрицательное.
Для интервала \((5, +\infty)\): возьмем, например, \(x = 6\). \[ (6-1)^2 \cdot (6-5) = 25 \cdot 1 = 25 > 0 \] Значит, на этом интервале выражение положительное.
Составьте ответ: Таким образом, неравенство \((x-1)^2 \cdot (x-5) < 0\) выполнено на интервалах: \[ x \in (-\infty, 1) \cup (1, 5) \]
Ответ: \(x \in (-\infty, 1) \cup (1, 5)\).
