(x-2)(x+3)(x-4)>0

Чтобы решить неравенство \((x-2)(x+3)(x-4) > 0\), следуем следующим шагам:

1. Найдем корни уравнения: Для того чтобы понять, где произведение равно нулю, найдём значения \(x\), при которых каждый множитель равен нулю:

   • \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
   • \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
   • \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)

   Корни: \(x = -3\), \(x = 2\), \(x = 4\).

2. Определим интервалы: Корни делят числовую прямую на четыре интервала:

   • \((- \infty, -3)\)
   • \((-3, 2)\)
   • \((2, 4)\)
   • \((4, +\infty)\)

3. Проведем тестирование знаков: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:

   • Для интервала \((- \infty, -3)\): пусть \(x = -4\): \[ (-4 - 2)(-4 + 3)(-4 - 4) = (-6)(-1)(-8) = -48 < 0 \]
   • Для интервала \((-3, 2)\): пусть \(x = 0\): \[ (0 - 2)(0 + 3)(0 - 4) = (-2)(3)(-4) = 24 > 0 \]
   • Для интервала \((2, 4)\): пусть \(x = 3\): \[ (3 - 2)(3 + 3)(3 - 4) = (1)(6)(-1) = -6 < 0 \]
   • Для интервала \((4, +\infty)\): пусть \(x = 5\): \[ (5 - 2)(5 + 3)(5 - 4) = (3)(8)(1) = 24 > 0 \]

4. Соберем результаты: Получаем следующие знаки:

   • \((- \infty, -3)\): < 0
   • \((-3, 2)\): > 0
   • \((2, 4)\): < 0
   • \((4, +\infty)\): > 0

5. Запишем решение: Мы ищем, где произведение положительно:

   • \((-3, 2)\) и \((4, +\infty)\).

Таким образом, решения неравенства \((x-2)(x+3)(x-4) > 0\) будут: \[ x \in (-3, 2) \cup (4, +\infty). \]