Два стрелка стреляют каждый по своей мишени делая по 2 выстрела каждый.первый при каждом выстреле попадает с вероятностью 0,6, второй с вероятностью 0,7. найти вероятность того что вместе у стрелков будет 3 попадания
Для решения этой задачи воспользуемся понятиями теории вероятностей.
Обозначим вероятности попадания для первого и второго стрелка:
Вероятность попадания первого стрелка в одну цель: \( P_1 = 0,6 \)
Вероятность промаха первого стрелка: \( Q_1 = 1 - P_1 = 0,4 \)
Вероятность попадания второго стрелка в одну цель: \( P_2 = 0,7 \)
Вероятность промаха второго стрелка: \( Q_2 = 1 - P_2 = 0,3 \)
Каждый стрелок делает по 2 выстрела. Мы ищем вероятность того, что у стрелков будет всего 3 попадания. Возможные комбинации попаданий могут быть такими:
- Первый стрелок попал 2 раза, второй 1 раз.
- Первый стрелок попал 1 раз, второй 2 раза.
Теперь рассчитаем вероятность для каждой из этих комбинаций.
Комбинация 1: 2 попадания первого стрелка и 1 попадание второго
Вероятность того, что первый стрелок попадает 2 раза и промахивается 0 раз:
\[ P(2,0) = P_1^2 = 0,6^2 = 0,36 \]
Вероятность того, что второй стрелок попадает 1 раз и промахивается 1 раз:
\[ P(1,1) = \binom{2}{1} P_2^1 Q_2^1 = 2 \cdot 0,7^1 \cdot 0,3^1 = 2 \cdot 0,7 \cdot 0,3 = 0,42 \]
Общая вероятность для первой комбинации:
\[ P(2,0) \cdot P(1,1) = 0,36 \cdot 0,42 = 0,1512 \]
Комбинация 2: 1 попадание первого стрелка и 2 попадания второго
Вероятность того, что первый стрелок попадает 1 раз и промахивается 1 раз:
\[ P(1,1) = \binom{2}{1} P_1^1 Q_1^1 = 2 \cdot 0,6^1 \cdot 0,4^1 = 2 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 0,48 \]
Вероятность того, что второй стрелок попадает 2 раза и промахивается 0 раз:
\[ P(2,0) = P_2^2 = 0,7^2 = 0,49 \]
Общая вероятность для второй комбинации:
\[ P(1,1) \cdot P(2,0) = 0,48 \cdot 0,49 = 0,2352 \]
Общая вероятность
Теперь сложим вероятности двух комбинаций:
\[ P(3 \text{ попадания}) = 0,1512 + 0,2352 = 0,3864 \]
Таким образом, вероятность того, что вместе у стрелков будет 3 попадания, составляет \( 0,3864 \) или \( 38,64\% \).
