Прямые 𝑦 = −𝑥 + 5, 𝑦 = 2 и 𝑥 = 1 образовали треугольник. Найдите его площадь.

Чтобы найти площадь треугольника, образованного прямыми \(y = -x + 5\), \(y = 2\) и \(x = 1\), необходимо сначала определить точки пересечения этих прямых, которые будут вершинами треугольника.

1. Найдем точки пересечения:

   • Пересечение прямых \(y = -x + 5\) и \(y = 2\): \[ -x + 5 = 2 \\ -x = 2 - 5 \\ -x = -3 \\ x = 3 \] Таким образом, точка пересечения: \((3, 2)\).

   • Пересечение прямых \(y = -x + 5\) и \(x = 1\): Подставим \(x = 1\) в уравнение первой прямой: \[ y = -1 + 5 \\ y = 4 \] Таким образом, точка пересечения: \((1, 4)\).

   • Пересечение прямых \(y = 2\) и \(x = 1\): Здесь, так как \(x\) фиксировано, мы сразу получаем: \((1, 2)\).

Теперь у нас есть три вершины треугольника:

• \((3, 2)\)
• \((1, 4)\)
• \((1, 2)\)

2. Найдем площадь треугольника: Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Где \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) - координаты вершин треугольника:

• \((3, 2)\) = \((x_1, y_1)\)
• \((1, 4)\) = \((x_2, y_2)\)
• \((1, 2)\) = \((x_3, y_3)\)

Подставим значения в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \left| 3(4 - 2) + 1(2 - 2) + 1(2 - 4) \right| \\ = \frac{1}{2} \left| 3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) \right| \\ = \frac{1}{2} \left| 6 + 0 - 2 \right| \\ = \frac{1}{2} \left| 4 \right| \\ = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \]

Таким образом, площадь треугольника, образованного данными прямыми, равна \(2\) квадратных единицы.