-4x⁴-4x²+24=0
Чтобы решить уравнение \(-4x^4 - 4x^2 + 24 = 0\), сначала мы можем упростить уравнение. Заметим, что каждый член уравнения делится на -4, что позволяет упростить его:
\[ x^4 + x^2 - 6 = 0 \]
Теперь введем замену: пусть \(y = x^2\). Тогда наше уравнение становится:
\[ y^2 + y - 6 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\). Подставим значения:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Теперь находим корни по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Итак, корни:
\[ y_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Поскольку \(y = x^2\), и \(x^2\) не может быть отрицательным, оставляем только положительное значение \(y\):
- \(x^2 = 2\) \(\Rightarrow x = \sqrt{2}\) или \(x = -\sqrt{2}\).
Таким образом, у нашего уравнения есть два действительных корня:
\[ x = \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{2}. \]
В результате, корни уравнения \(-4x^4 - 4x^2 + 24 = 0\) – это \(\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{2}\).
