Найти общий интеграл дифференциального уравнения y'-4y=e^2x

Для решения дифференциального уравнения \( y' - 4y = e^{2x} \) можно использовать метод изменения переменных. Это уравнение является линейным первым порядком.

1. Прежде всего, мы можем записать его в стандартной форме: \[ y' - 4y = e^{2x} \]

2. Теперь найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) \). Он рассчитывается по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int -4 \, dx} = e^{-4x} \]

3. Теперь умножим всё уравнение на интегрирующий множитель: \[ e^{-4x} y' - 4 e^{-4x} y = e^{-4x} e^{2x} \]

   Справа получаем: \[ e^{-4x} e^{2x} = e^{-2x} \]

   Таким образом, уравнение принимает вид: \[ e^{-4x} y' - 4 e^{-4x} y = e^{-2x} \]

4. Левую часть уравнения можно переписать как производную произведения: \[ \frac{d}{dx}(e^{-4x} y) = e^{-2x} \]

5. Интегрируем обе стороны по \( x \): \[ e^{-4x} y = \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C \]

6. Умножаем обе стороны на \( e^{4x} \), чтобы изолировать \( y \): \[ y = -\frac{1}{2} e^{2x} + C e^{4x} \]

Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения: \[ y = -\frac{1}{2} e^{2x} + Ce^{4x} \]

где \( C \) — произвольная константа. Если будут вопросы по другим темам, не стесняйтесь обращаться!