Вариант 1 1. Дан куб АВСДА1В1C1B1Д1. a) Найти прямую пересечения плоскостей (АВС) и (АВB1); б) Как расположены прямые АВ и Д:С1? b) Как расположены прямые ДС и ВВ1? г) Как расположены прямые ДД и СД? д) Какой плоскости принадлежит отрезок ДС иточка В1. (показать на чертеже) 2. Плоскость а проходит черезсередины боковых сторон АВ и СД трапеции АВСД - точки М и N. a) Докажите, что АД a. б) Найдите ВС, если АД = 12 см, MN = 10 см. 3. Наклонная равна 5 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость. если наклонная составляет с плоскостью угол, равный 45°. 4. Через вершины М и Р параллелограмма MNPQ проведены параллельные прямыеМ1Ми Р1P. не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскостей M1MN и P1PQ. 5. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А1, а сторону ВС - в точке С1. Найдите АС, если А1C1= 3 см. ВС: ВС1 = 4: 1.

Рассмотрим куб АВСДА1В1C1B1Д1. a) Чтобы найти прямую пересечения плоскостей (АВС) и (АВB1), начнем с определения этих плоскостей:

• Плоскость (АВС) проходит через точки А, В и С.
• Плоскость (АВB1) проходит через точки А, В и B1. Пересечение этих двух плоскостей является прямой, лежащей на линии, соединяющей точку B с точкой C, так как это общая часть двух плоскостей.

б) Прямые АВ и Д:С1 расположены перпендикулярно друг к другу. Прямая АВ является горизонтальной, в то время как прямая Д:С1 идет вертикально, так как точки Д и С1 находятся на разных уровнях куба.

c) Прямые ДС и ВВ1 также расположены перпендикулярно друг к другу. Прямая ДС проходит по одной грани куба, а прямая ВВ1 поднимается вертикально.

d) Прямые ДД и СД расположены параллельно друг к другу, так как обе идут вертикально и лежат на боковых гранях куба.

e) Отрезок ДС принадлежит плоскости (АВС), а точка В1 принадлежит плоскости (АВB1). Для наглядности можно сделать чертеж, где будут указаны пересекающиеся плоскости и отрезки.

Для трапеции АВСД, плоскость а проходит через середины боковых сторон АВ и СД (точки М и N). a) Чтобы доказать, что АД || a, можно использовать теорему о средней линии трапеции: отрезок, соединяющий середины двух боковых сторон, параллелен основанию и равен половине суммы оснований. Поскольку MN соединяет М и N, он является средней линией, следовательно, АД || MN.

б) Если АД = 12 см, а MN = 10 см, то по теореме: \( BC = 2 \cdot MN - AД = 2 \cdot 10 - 12 = 20 - 12 = 8 \) см.

Наклонная равна 5 см и составляет угол 45° с плоскостью. Проекция наклонной на плоскость можно найти с помощью тригонометрии:

• Проекция (h) будет равна: \[ h = L \cdot \cos(\alpha) = 5 \cdot \cos(45°) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3.54 \text{ см}. \]

Параллелограмм MNPQ и параллельные прямые M1M и P1P. Чтобы доказать параллельность плоскостей M1MN и P1PQ, можно использовать критерий сечений. Если прямые M1M и P1P параллельны, а они соединены с вершинами параллелограмма, тогда плоскости M1MN и P1PQ будут параллельны, поскольку они перпендикулярны к этим прямым.

Для плоскости, параллельной стороне АС треугольника АВС:

• Пусть А1C1 = 3 см, а ВС:ВС1 = 4:1. Это означает, что для нахождения АС мы можем установить пропорцию: \[ \frac{A1C1}{BC1} = \frac{1}{4} \Rightarrow BC1 = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}. \] Следовательно, AС = AB + BC = 12 см.