Материальная точка движется по закону s(t) = 2t√t, где s — путь, пройденный точкой, (в метрах), t — время (в секундах). В какой момент времени скорость точки равна 12 м/с?

Чтобы найти момент времени, когда скорость материальной точки равна 12 м/с, нужно сначала найти выражение для скорости, которое является производной пути по времени.

Дано уравнение пути: \[ s(t) = 2t\sqrt{t} \]

Сначала найдем производную \( s(t) \):

1. Запишем \( s(t) \) в более удобной форме: \[ s(t) = 2t^{3/2} \]

2. Найдем первую производную \( s'(t) \), которая будет обозначать скорость \( v(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^{3/2}) \]

Используя правило дифференцирования степенной функции: \[ v(t) = 2 \cdot \frac{3}{2} t^{3/2 - 1} = 3t^{1/2} \]

Теперь, когда мы знаем выражение для скорости, можем установить уравнение для нахождения времени, когда скорость равна 12 м/с: \[ 3\sqrt{t} = 12 \]

Теперь нужно решить это уравнение:

1. Разделим обе стороны на 3: \[ \sqrt{t} = 4 \]

2. Поднимем обе стороны в квадрат: \[ t = 16 \]

Таким образом, момент времени, когда скорость точки равна 12 м/с, равен \( t = 16 \) секунд.