Исследовать на монатонасть и найти ее экстремумы y=2x³+3x²-1
Для исследования функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 1 \) на монотонность и нахождения её экстремумов, нужно пройти несколько этапов.
Найдем производную функции.
Чтобы исследовать монотонность, мы сначала находим первую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 1) = 6x^2 + 6x \]
Мы можем упростить это выражение:
\[ y' = 6x(x + 1) \]
Найдем критические точки.
Критические точки находятся, когда производная равна нулю:
\[ 6x(x + 1) = 0 \]
Решая это уравнение, получаем:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Исследуем знаки производной.
Теперь определим знаки производной на интервалах, которые образуются критическими точками:
- Интервал \( (-\infty, -1) \)
- Интервал \( (-1, 0) \)
- Интервал \( (0, +\infty) \)
Выберем тестовые точки:
Для интервала \( (-\infty, -1) \) возьмем \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2)(-1) = 12 > 0 \quad \text{(возрастает)} \]
Для интервала \( (-1, 0) \) возьмем \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 6(-0.5)(0.5) = -1.5 < 0 \quad \text{(убывает)} \]
Для интервала \( (0, +\infty) \) возьмем \( x = 1 \): \[ y'(1) = 6(1)(2) = 12 > 0 \quad \text{(возрастает)} \]
Определим экстремумы.
С учетом знаков производной можно сделать вывод:
- На интервале \( (-\infty, -1) \) функция возрастает.
- В точке \( x = -1 \) достигается максимум, поскольку перед этой точкой функция возрастала, а после убывает.
- На интервале \( (-1, 0) \) функция убывает.
- В точке \( x = 0 \) достигается минимум, поскольку перед этой точкой функция убывала, а после возрастает.
Найдем значения функции в экстремумах.
Теперь подставим критические точки в исходную функцию:
Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 \]
Для \( x = 0 \): \[ y(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 \]
Итоги.
- Экстремум (максимум) в точке \( (-1, 0) \).
- Экстремум (минимум) в точке \( (0, -1) \).
Таким образом, функция имеет максимум в точке \((-1, 0)\) и минимум в точке \((0, -1)\).
