найти промежутки выпуклости функции y=12x²-x³
Чтобы найти промежутки выпуклости функции \( y = 12x^2 - x^3 \), нам нужно выполнить следующие шаги:
Найти первую производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(12x^2 - x^3) = 24x - 3x^2 \]
Найти вторую производную функции: \[ y'' = \frac{d}{dx}(24x - 3x^2) = 24 - 6x \]
Определить, где вторая производная равна нулю: Уравняем вторую производную к нулю: \[ 24 - 6x = 0 \] Решим это уравнение: \[ 6x = 24 \implies x = 4 \]
Провести анализ знака второй производной: Мы проверим знак \( y'' \) на промежутках, которые получаются, разбивая числовую прямую на части в точке \( x = 4 \).
Для \( x < 4 \), например, взяв \( x = 0 \): \[ y''(0) = 24 - 6(0) = 24 > 0 \quad (\text{выпуклость вверх}) \]
Для \( x > 4 \), например, взяв \( x = 5 \): \[ y''(5) = 24 - 6(5) = 24 - 30 = -6 < 0 \quad (\text{выпуклость вниз}) \]
Записать промежутки выпуклости: Мы видим, что функция выпукла вверх на интервале \( (-\infty, 4) \) и выпукла вниз на интервале \( (4, \infty) \).
Итак, функция \( y = 12x^2 - x^3 \) имеет следующие промежутки выпуклости:
- Выпуклость вверх: \( (-\infty, 4) \)
- Выпуклость вниз: \( (4, \infty) \)
