найдем наибольшее значение функции y=x³-6,5x²+14x-14 на отрезке [-4;3]
Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = x^3 - 6,5x^2 + 14x - 14 \) на заданном отрезке \([-4; 3]\), выполните следующие шаги:
Найдите производную функции. Производная покажет, при каких значениях \( x \) функция может иметь экстремумы: \[ y' = 3x^2 - 13x + 14 \]
Найдите критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 13x + 14 = 0 \] Используем дискриминант для решения этого квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1 \] Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два разных корня: \[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} \approx 2.33 \] \[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]
Подставьте все критические точки и границы отрезка в исходную функцию, чтобы найти значения. Мы проверим значения в точках \( x = -4 \), \( x = 2 \), и \( x \approx 2.33 \), а также \( x = 3 \):
Для \( x = -4 \): \[ y(-4) = (-4)^3 - 6.5(-4)^2 + 14(-4) - 14 = -64 - 104 - 56 - 14 = -238 \]
Для \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 6.5 \cdot 2^2 + 14 \cdot 2 - 14 = 8 - 26 + 28 - 14 = -4 \]
Для \( x \approx 2.33 \): \[ y(2.33) \approx (2.33)^3 - 6.5(2.33)^2 + 14(2.33) - 14 \approx 12.67 - 30.31 + 32.62 - 14 \approx 0 \]
Для \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 6.5 \cdot 3^2 + 14 \cdot 3 - 14 = 27 - 58.5 + 42 - 14 = -3.5 \]
Сравните полученные значения:
- \( y(-4) = -238 \)
- \( y(2) = -4 \)
- \( y(2.33) \approx 0 \)
- \( y(3) = -3.5 \)
Наименьшее значение имеет \( y(-4) \), а наибольшее - приблизительно \( y(2.33) \approx 0 \).
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([-4; 3]\) составляет приблизительно 0.
