4x²-x-3<0

Чтобы решить неравенство \(4x^2 - x - 3 < 0\), сначала найдем корни соответствующего уравнения \(4x^2 - x - 3 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 4\), \(b = -1\) и \(c = -3\).

Подставим значения в формулу дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения: \[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8} \]

Теперь найдем оба корня:

1. \(x_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1\)
2. \(x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4}\)

Таким образом, корни уравнения \(4x^2 - x - 3 = 0\) – это \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{4}\).

Теперь разложим квадратный трехчлен: \[ 4x^2 - x - 3 = 4(x - 1)\left(x + \frac{3}{4}\right) \]

Поскольку мы решаем неравенство \(4x^2 - x - 3 < 0\), определим знаки выражения на интервалах, образованных корнями \(x_2 = -\frac{3}{4}\) и \(x_1 = 1\):

1. Для \(x < -\frac{3}{4}\) (например, \(x = -1\)): \(4(-1 - 1)(-1 + \frac{3}{4}) > 0\)
2. Для \(-\frac{3}{4} < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(4(0 - 1)(0 + \frac{3}{4}) < 0\)
3. Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(4(2 - 1)(2 + \frac{3}{4}) > 0\)

Теперь можем заключить, что неравенство \(4x^2 - x - 3 < 0\) выполняется на интервале: \[ -\frac{3}{4} < x < 1 \]

Таким образом, решение неравенства: \(x \in \left(-\frac{3}{4}, 1\right)\).