две стороны треугольника равны 7см 8см, а угол между ними состовляет 120°.Найлите радиус окружности, описанной около треугольника
Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, можно воспользоваться формулой:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где \(R\) — радиус окружности, описанной вокруг треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, \(S\) — площадь треугольника.
В данном случае у нас есть две стороны треугольника: \(a = 7\) см и \(b = 8\) см, а угол между ними составляет 120°. Нам нужно найти третью сторону \(c\) и площадь \(S\).
- Находим третью сторону \(c\) с помощью теоремы косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C) \]
Подставляем значения:
\[ c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) \]
Значение \(\cos(120^\circ) = -0.5\), тогда у нас получается:
\[ c^2 = 49 + 64 + 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 49 + 64 + 56 = 169 \]
Наконец, извлечем квадратный корень:
\[ c = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]
Теперь у нас есть все три стороны треугольника: \(a = 7\) см, \(b = 8\) см и \(c = 13\) см.
- Находим площадь \(S\) треугольника с помощью формулы полупериметра и формулы Герона:
Сначала вычисляем полупериметр \(p\):
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 8 + 13}{2} = 14 \text{ см} \]
Теперь можем найти площадь:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
Подставляя значения:
\[ S = \sqrt{14(14-7)(14-8)(14-13)} = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{588} \]
Для вычисления будет удобно оценить \(S\):
\[ S \approx 24.2 \text{ см}^2 \]
- Теперь можем найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
Подставляя значения:
\[ R = \frac{7 \cdot 8 \cdot 13}{4 \cdot 24.2} \approx \frac{728}{96.8} \approx 7.52 \text{ см} \]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, составляет примерно \(7.52\) см.
