Решите задачу: «Поезд был задержан на станции на 8 минут. Чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. Какой должна была быть скорость поезда по расписанию, если отставание он ликвидировал на отрезке пути в 40 км? »

Давайте обозначим скорость поезда по расписанию как \( v \) (км/ч).

Поезд был задержан на 8 минут, что равно \( \frac{8}{60} = \frac{2}{15} \) часа.

После увеличения скорости на 10 км/ч машинист едет со скоростью \( v + 10 \) км/ч. По условию задачи, он успел компенсировать задержку на отрезке пути в 40 км.

Сначала найдем время, которое поезд должен был бы потратить на путь в 40 км при скорости \( v \):

\[ t_1 = \frac{40}{v} \]

Теперь найдем время, которое поезд потратил с увеличенной скоростью \( v + 10 \):

\[ t_2 = \frac{40}{v + 10} \]

Поскольку он опоздал на 8 минут, чтобы прибыть вовремя, разница во времени между этими двумя путями должна равняться 8 минутам (или \( \frac{2}{15} \) часа):

\[ t_1 - t_2 = \frac{2}{15} \]

Подставим \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = \frac{2}{15} \]

Теперь умножим уравнение на \( 15v(v + 10) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 15v(v + 10) \left( \frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} \right) = 2v(v + 10) \]

Упростим выражение:

\[ 15 \cdot 40 (v + 10) - 15 \cdot 40 v = 2v(v + 10) \]

\[ 600(v + 10 - v) = 2v(v + 10) \]

\[ 6000 = 2v^2 + 20v \]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду:

\[ 2v^2 + 20v - 6000 = 0 \]

Разделим все коэффициенты на 2:

\[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 110}{2} \]

Корни:

\[ v_1 = \frac{100}{2} = 50 \quad (\text{приемлемый корень}) \] \[ v_2 = \frac{-120}{2} = -60 \quad (\text{неприемлемый корень}) \]

Таким образом, скорость поезда по расписанию составляет \( v = 50 \) км/ч.