Розв'яжіть систему рівнянь 3 ^ (x - 2y) = 1/3 ,\\ 3^ x +3^ 2y =4 sqrt 3 . Для одержаного розв'язку (x_{0}; y_{0}) системи обчисліть ДОБУТОК x_{0}*y_{0}
Чтобы решить систему уравнений
- \( 3^{(x - 2y)} = \frac{1}{3} \)
- \( 3^x + 3^{2y} = 4\sqrt{3} \)
начнем с первого уравнения.
Мы знаем, что \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \), значит:
\[ 3^{(x - 2y)} = 3^{-1} \]
Это позволяет нам приравнять степени:
\[ x - 2y = -1 \]
Теперь выразим \( x \) через \( y \):
\[ x = 2y - 1 \quad (1) \]
Теперь подставим (1) во второе уравнение:
\[ 3^{(2y - 1)} + 3^{2y} = 4\sqrt{3} \]
Преобразуем \( 3^{(2y - 1)} \):
\[ 3^{(2y - 1)} = \frac{3^{2y}}{3} \]
Таким образом, второе уравнение становится:
\[ \frac{3^{2y}}{3} + 3^{2y} = 4\sqrt{3} \]
Объединим дроби:
\[ \frac{3^{2y} + 3 \cdot 3^{2y}}{3} = 4\sqrt{3} \]
Это можно записать как:
\[ \frac{4 \cdot 3^{2y}}{3} = 4\sqrt{3} \]
Умножим обе стороны на 3:
\[ 4 \cdot 3^{2y} = 12\sqrt{3} \]
Теперь разделим обе стороны на 4:
\[ 3^{2y} = 3\sqrt{3} \]
Выразим это как степень 3:
\[ 3^{2y} = 3^{\frac{3}{2}} \]
Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели:
\[ 2y = \frac{3}{2} \]
Отсюда получаем:
\[ y = \frac{3}{4} \quad (2) \]
Теперь подставим значение \( y \) в уравнение (1) для нахождения \( x \):
\[ x = 2\left(\frac{3}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \]
Таким образом, получили \( x_0 = \frac{1}{2} \) и \( y_0 = \frac{3}{4} \).
Теперь вычислим произведение \( x_0 \cdot y_0 \):
\[ x_0 \cdot y_0 = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{8} \]
Ответ: \( x_0 \cdot y_0 = \frac{3}{8} \).
