Найдите неопределенный интеграл функции x^2-6sin2x

Чтобы найти неопределенный интеграл функции \( x^2 - 6\sin(2x) \), необходимо произвести интегрирование каждого слагаемого по отдельности.

1. Начнем с первого слагаемого \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1, \] где \( C_1 \) — произвольная константа интегрирования.

2. Теперь перейдем ко второму слагаемому \( -6\sin(2x) \): \[ \int -6\sin(2x) \, dx. \] Здесь мы используем замену переменной. Интеграл \( \sin(kx) \) равен \( -\frac{1}{k}\cos(kx) \). В нашем случае \( k = 2 \): \[ \int -6\sin(2x) \, dx = -6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C_2 = 3\cos(2x) + C_2, \] где \( C_2 \) — еще одна произвольная константа интегрирования.

Теперь объединяем результаты: \[ \int (x^2 - 6\sin(2x)) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3\cos(2x) + C, \] где \( C = C_1 + C_2 \) — общая произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ: \[ \int (x^2 - 6\sin(2x)) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3\cos(2x) + C. \]