Шар диаметром 8√3 см пересекли плоскостью. Диаметр, проведённый в одну из точек линии сечения, образует с плоскостью угол 45°. Найди площадь сечения.

Чтобы найти площадь сечения шара, давайте рассмотрим задачу более подробно.

1. Определим радиус шара. Диаметр шара составляет \( 8\sqrt{3} \) см, значит радиус \( R \) равен: \[ R = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}. \]

2. Определим угол между диаметром и плоскостью. Угол, который образует диаметр, проведённый в одну из точек линии сечения, с плоскостью равен 45°. Это означает, что сечение шара будет представлять собой круг, но с радиусом, который изменяется в зависимости от угла.

3. Найдём радиус сечения. Площадь сечения шара можно найти через радиус сечения \( r \). При пересечении шара и плоскости образуется круг, и размер радиуса круга зависит от расстояния от центра шара до плоскости. Используют треугольник, сформированный радиусом шара, радиусом сечения и высотой.

Согласно тригонометрии, радиус сечения можно рассчитать следующим образом: \[ r = R \cdot \sin(\theta), \] где \( \theta = 45^\circ \). Поскольку \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \[ r = R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ см}. \]

4. Теперь найдем площадь круга (сечения). Площадь круга рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r^2. \] Подставляем значение радиуса: \[ S = \pi (2\sqrt{6})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 6 = 24\pi \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь сечения шара равна \( 24\pi \) см².