Найдите наименьший положительный период функции 1) y = sin 5x * cos x - sin x * cos 5x 2) y = 2 - sin x * cos x 2) y = sin(x/3) * cos(x/3)

Чтобы найти наименьший положительный период функции, важно понимать, что период синусоидальных функций (sin и cos) определяется формой функции и коэффициентами, которые перед ними стоят.

1. Для функции \( y = \sin(5x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \cos(5x) \):

Используем формулу произведения синуса и косинуса: \[ \sin(A) \cdot \cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] \] Найдем период для каждой из составляющих:

• Период \(\sin(5x)\) равен \(\frac{2\pi}{5}\),
• Период \(\cos(x)\) равен \(2\pi\),
• Период \(\sin(x)\) равен \(2\pi\),
• Период \(\cos(5x)\) равен \(\frac{2\pi}{5}\).

Чтобы найти общий период функции, необходимо взять наименьшее общее кратное (НОК) периодов: \[ \text{НОК}\left(\frac{2\pi}{5}, 2\pi\right) = 2\pi. \]

Таким образом, наименьший положительный период первой функции равен \(2\pi\).

2. Для функции \( y = 2 - \sin(x) \cdot \cos(x) \):

Известно, что \( \sin(x) \cdot \cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) \). Значит, данная функция может быть переписана как: \[ y = 2 - \frac{1}{2}\sin(2x). \] Период функции \(\sin(2x)\) равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\). Таким образом, наименьший период этой функции равен \(\pi\).

3. Для функции \( y = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right) \):

Снова используем формулу произведения: \[ \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2x}{3}\right). \] Период функции \(\sin\left(\frac{2x}{3}\right)\) равен \(\frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = 3\pi\). Следовательно, наименьший положительный период этой функции равен \(3\pi\).

Итак, подводя итог:

1. Период \(y = \sin(5x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \cos(5x)\) равен \(2\pi\).
2. Период \(y = 2 - \sin(x) \cdot \cos(x)\) равен \(\pi\).
3. Период \(y = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right)\) равен \(3\pi\).