постройте график функции и опишите её свойства y=x²+3x

Для построения графика функции \( y = x^2 + 3x \) начнём с анализа её свойств.

1. Тип функции: Это квадратная функция, так как её степень 2. График квадратной функции — это парабола.

2. Коэффициенты: В данном уравнении \( a = 1 \) (перед \( x^2 \)), \( b = 3 \) (перед \( x \)), \( c = 0 \) (свободный член).

3. Вершина параболы: Вершина параболы, заданной функцией \( y = ax^2 + bx + c \), находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} \] Подставим \( x_v \) обратно в функцию, чтобы найти координаты вершины: \[ y_v = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}\right) \).

4. Ось симметрии: Ось симметрии параболы проходит через вертикальную линию, соответствующую \( x = -\frac{3}{2} \).

5. Увеличение и уменьшение: Парабола открыта вверх (так как \( a > 0 \)). Она уменьшается на интервале \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) и увеличивается на интервале \( (-\frac{3}{2}, +\infty) \).

6. Корни уравнения: Чтобы найти корни функции, можно использовать квадратное уравнение: \[ x^2 + 3x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ x(x + 3) = 0 \] Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь, чтобы построить график функции, рекомендуется следовать таким шагам:

1. Найдите и отметьте вершину \( \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) на графике.
2. Отметьте корни \( (0, 0) \) и \( (-3, 0) \).
3. Нарисуйте параболу, проходящую через эти точки, с вершинкой, направленной вверх.

Таким образом, график функции будет выглядеть как парабола, симметричная относительно вертикальной линии \( x = -\frac{3}{2} \), которая проходит через заданные точки.