Как решить 9x⁴-10x²+1=0

Чтобы решить уравнение \(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\), мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте обозначим \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:

\[9y^2 - 10y + 1 = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 9\), \(b = -10\) и \(c = 1\). Подставим значения:

1. Сначала найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64. \]

2. Теперь подставим дискриминант в формулу для корней: \[ y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 \pm 8}{18}. \]

3. Теперь найдём два значения \(y\):

   • Первое значение: \[ y_1 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1. \]
   • Второе значение: \[ y_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}. \]

Теперь у нас есть два значения \(y\): \(y_1 = 1\) и \(y_2 = \frac{1}{9}\).

Теперь вернёмся к переменной \(x^2\):

1. Для \(y_1 = 1\): \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1. \]

2. Для \(y_2 = \frac{1}{9}\): \[ x^2 = \frac{1}{9} \implies x = \pm \frac{1}{3}. \]

Таким образом, окончательные решения уравнения \(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\): \[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -\frac{1}{3}. \]