X-2/x²+2x+4 - 6x/x³-8 + 1/x-2
Чтобы решить выражение \( \frac{x-2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x-2} \), начнем с упрощения каждой из дробей.
Первое слагаемое: \[ \frac{x-2}{x^2 + 2x + 4} \] В числителе у нас \(x - 2\), а в знаменателе \(x^2 + 2x + 4\) не имеет корней (дискриминант отрицателен), так что оно всегда положительно.
Второе слагаемое: \[ \frac{6x}{x^3 - 8} \] Заметим, что \(x^3 - 8\) можно разложить как разность кубов: \[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Теперь можно переписать второе слагаемое: \[ \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \]
Третье слагаемое: \[ \frac{1}{x - 2} \]
Теперь объединим все слагаемые в одно выражение. Найдем общий знаменатель, который будет: \[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Записав каждое слагаемое с общим знаменателем, получим: \[ \frac{(x-2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \]
Теперь можем объединить все в один дробный вид: \[ \frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \]
Упростим числитель: \[ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] Таким образом, \[ x^2 - 4x + 4 - 6x + x^2 + 2x + 4 = 2x^2 - 8x + 8 \]
Итак, финальное выражение будет выглядеть так: \[ \frac{2x^2 - 8x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \]
Не забудьте, что выражение не определено для \(x = 2\), так как это делает знаменатель равным нулю.
