Х²×(х+1)×(х-4)>0

Чтобы решить неравенство \( x^2 \times (x + 1) \times (x - 4) > 0 \), начнем с нахождения нулевых точек, где левая часть неравенства равна нулю. Это происходит, когда любой из множителей равен нулю:

1. \( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \)
3. \( x - 4 = 0 \) → \( x = 4 \)

Таким образом, у нас есть три критические точки: \( x = -1 \), \( x = 0 \), и \( x = 4 \).

Теперь разделим числовую ось на интервалы на основе этих точек:

1. \( (-\infty, -1) \)
2. \( (-1, 0) \)
3. \( (0, 4) \)
4. \( (4, +\infty) \)

Теперь необходимо определить знак выражения \( x^2 \times (x + 1) \times (x - 4) \) на каждом интервале.

1. Интервал \( (-\infty, -1) \):

   • \( x^2 > 0 \) (всегда положительно для \( x \neq 0 \))
   • \( x + 1 < 0 \)
   • \( x - 4 < 0 \)
   • Знак: \( (+) \times (-) \times (-) = + \)

2. Интервал \( (-1, 0) \):

   • \( x^2 > 0 \)
   • \( x + 1 > 0 \)
   • \( x - 4 < 0 \)
   • Знак: \( (+) \times (+) \times (-) = - \)

3. Интервал \( (0, 4) \):

   • \( x^2 > 0 \)
   • \( x + 1 > 0 \)
   • \( x - 4 < 0 \)
   • Знак: \( (+) \times (+) \times (-) = - \)

4. Интервал \( (4, +\infty) \):

   • \( x^2 > 0 \)
   • \( x + 1 > 0 \)
   • \( x - 4 > 0 \)
   • Знак: \( (+) \times (+) \times (+) = + \)

Теперь, чтобы удовлетворять условию \( x^2 \times (x + 1) \times (x - 4) > 0 \), мы ищем интервалы, где выражение положительно. Это происходит на интервалах:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (4, +\infty) \)

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \]

Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная помощь, смело спрашивайте!