Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с частотой 20 об./мин. в центре платформы стоит человек и держит в руках гири. с какой частотой будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2.94 до 0.98 кг × м²? считать платформу однородным диском. во сколько раз увеличится кинетическая энергия человека?
Для решения этой задачи нам нужно использовать закон сохранения момента импульса и формулы для кинетической энергии.
- Сначала найдем момент инерции платформы. Платформа является однородным диском, момент инерции которого рассчитывается по формуле:
\[ I_{\text{платформы}} = \frac{1}{2} m r^2 \]
где \(m = 80 \, \text{кг}\) — масса платформы и \(r = 1 \, \text{м}\) — радиус платформы.
Подставим значения:
\[ I_{\text{платформы}} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (1)^2 = 40 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]
- Теперь найдем начальный момент инерции всей системы, включая человека. Он равен:
\[ I_{\text{начальное}} = I_{\text{платформы}} + I_{\text{человека}} = 40 + 2.94 = 42.94 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]
- Частота вращения в начальный момент времени. Частота 20 об/мин можно перевести в радианы в секунду:
\[ \omega_{\text{начальное}} = 20 \cdot \frac{2\pi}{60} \approx 2.094 \, \text{рад/с} \]
- Теперь найдем угловую скорость системы после того, как человек опустил руки, и его момент инерции уменьшился до 0.98 кг·м².
Новый момент инерции будет:
\[ I_{\text{конечное}} = I_{\text{платформы}} + I_{\text{человека}} = 40 + 0.98 = 40.98 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]
- По закону сохранения момента импульса:
\[ I_{\text{начальное}} \cdot \omega_{\text{начальное}} = I_{\text{конечное}} \cdot \omega_{\text{конечное}} \]
Подставим известные значения:
\[ 42.94 \cdot 2.094 = 40.98 \cdot \omega_{\text{конечное}} \]
Теперь находим \(\omega_{\text{конечное}}\):
\[ \omega_{\text{конечное}} = \frac{42.94 \cdot 2.094}{40.98} \approx 2.139 \, \text{рад/с} \]
- Переведем угловую скорость обратно в об/мин:
\[ \omega_{\text{конечное (об/мин)}} = \frac{2.139 \cdot 60}{2\pi} \approx 20.4 \, \text{об/мин} \]
- Теперь найдем, во сколько раз увеличилась кинетическая энергия человека. Кинетическая энергия рассчитывается по формуле:
\[ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
Для первоначальной и конечной кинетической энергии человека:
\[ E_{k, \text{начальное}} = \frac{1}{2} \cdot 2.94 \cdot (2.094)^2 \approx 6.467 \, \text{Дж} \] \[ E_{k, \text{конечное}} = \frac{1}{2} \cdot 0.98 \cdot (2.139)^2 \approx 2.249 \, \text{Дж} \]
- Теперь найдем, во сколько раз увеличилась кинетическая энергия:
\[ \text{Увеличение} = \frac{E_{k, \text{конечное}}}{E_{k, \text{начальное}}} \approx \frac{2.249}{6.467} \approx 0.348 \]
Таким образом, кинетическая энергия человека уменьшилась, и она составила примерно 34.8% от начальной.
Итак, платформа будет вращаться с частотой около 20.4 об/мин, а кинетическая энергия человека уменьшится примерно в 2.87 раз.
