Решите неравенство: а) (х-2)(х-4)(х-9)>0 б)(х+9)(х+1)(х-3)<_0 в)х(х+1)(х+7)(х-4)>0 г)х³(х-1)²(х+2)>_0

Question 1

Задача Задача №1783006

А

Аноним

09 октября 2024 12:11 · публичный вопрос

А

Аноним 09 октября 2024 12:11

Решите неравенство: а) (х-2)(х-4)(х-9)>0 б)(х+9)(х+1)(х-3)<_0 в)х(х+1)(х+7)(х-4)>0 г)х³(х-1)²(х+2)>_0

Answer

Давайте поработаем над решением этих неравенств! Мы будем находить нули выражений, а затем определим интервалы, на которых каждое из неравенств выполняется.

а) \((x-2)(x-4)(x-9) > 0\)

Находим нули: \(x = 2\), \(x = 4\), \(x = 9\).
Эти точки разбивают ось на интервалы: \((- \infty, 2)\), \((2, 4)\), \((4, 9)\), \((9, +\infty)\).
Проверяем знаки в каждом интервале:
- \((- \infty, 2)\): Подставим \(x = 0\) ⇒ \((0-2)(0-4)(0-9) < 0\)
- \((2, 4)\): Подставим \(x = 3\) ⇒ \((3-2)(3-4)(3-9) < 0\)
- \((4, 9)\): Подставим \(x = 5\) ⇒ \((5-2)(5-4)(5-9) > 0\)
- \((9, +\infty)\): Подставим \(x = 10\) ⇒ \((10-2)(10-4)(10-9) > 0\)

Итак, неравенство выполняется на интервалах: \((4, 9)\) и \((9, +\infty)\).

б) \((x+9)(x+1)(x-3) \leq 0\)

Нули: \(x = -9\), \(x = -1\), \(x = 3\).
Интервалы: \((- \infty, -9)\), \((-9, -1)\), \((-1, 3)\), \((3, +\infty)\).
Проверяем знаки:
- \((- \infty, -9)\): Подставим \(x = -10\) ⇒ \((-10+9)(-10+1)(-10-3) > 0\)
- \((-9, -1)\): Подставим \(x = -5\) ⇒ \((-5+9)(-5+1)(-5-3) < 0\)
- \((-1, 3)\): Подставим \(x = 0\) ⇒ \((0+9)(0+1)(0-3) < 0\)
- \((3, +\infty)\): Подставим \(x = 4\) ⇒ \((4+9)(4+1)(4-3) > 0\)

Неравенство выполняется на интервалах: \([-9, -1]\) и \([-1, 3]\).

в) \(x(x+1)(x+7)(x-4) > 0\)

Нули: \(x = 0\), \(x = -1\), \(x = -7\), \(x = 4\).
Интервалы: \((- \infty, -7)\), \((-7, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 4)\), \((4, +\infty)\).
Проверяем знаки:
- \((- \infty, -7)\): Подставим \(x = -8\) ⇒ \((-)(-)(-)(-) > 0\)
- \((-7, -1)\): Подставим \(x = -5\) ⇒ \((+)(-)(-)(-) < 0\)
- \((-1, 0)\): Подставим \(x = -0.5\) ⇒ \((+)(-)(-)(-) < 0\)
- \((0, 4)\): Подставим \(x = 2\) ⇒ \((+)(+)(+)(-) < 0\)
- \((4, +\infty)\): Подставим \(x = 5\) ⇒ \((+)(+)(+)(+) > 0\)

Неравенство выполняется на интервалах: \((- \infty, -7)\) и \((4, +\infty)\).

г) \(x^3(x-1)^2(x+2) \geq 0\)

Нули: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -2\).
Интервалы: \((- \infty, -2)\), \((-2, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\).
Проверяем знаки:
- \((- \infty, -2)\): Подставим \(x = -3\) ⇒ \((-)(-)(-) < 0\)
- \((-2, 0)\): Подставим \(x = -1\) ⇒ \((-)(-)(+) > 0\)
- \((0, 1)\): Подставим \(x = 0.5\) ⇒ \((+)(+)(+) > 0\)
- \((1, +\infty)\): Подставим \(x = 2\) ⇒ \((+)(+)(+) > 0\)

Неравенство выполняется на интервалах: \([-2, 0]\) и \([0, 1]\) включает равенство в точках \(0\) и \(1\).

Если у вас есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать!

Question 2

Решите неравенство: а) (х-2)(х-4)(х-9)>0 б)(х+9)(х+1)(х-3)<_0 в)х(х+1)(х+7)(х-4)>0 г)х³(х-1)²(х+2)>_0

Answer

Давайте поработаем над решением этих неравенств! Мы будем находить нули выражений, а затем определим интервалы, на которых каждое из неравенств выполняется. ### а) \((x-2)(x-4)(x-9) > 0\) 1. Находим нули: \(x = 2\), \(x = 4\), \(x = 9\). 2. Эти точки разбивают ось на интервалы: \((- \infty, 2)\), \((2, 4)\), \((4, 9)\), \((9, +\infty)\). 3. Проверяем знаки в каждом интервале: - \((- \infty, 2)\): Подставим \(x = 0\) ⇒ \((0-2)(0-4)(0-9) < 0\) - \((2, 4)\): Подставим \(x = 3\) ⇒ \((3-2)(3-4)(3-9) < 0\) - \((4, 9)\): Подставим \(x = 5\) ⇒ \((5-2)(5-4)(5-9) > 0\) - \((9, +\infty)\): Подставим \(x = 10\) ⇒ \((10-2)(10-4)(10-9) > 0\) Итак, неравенство выполняется на интервалах: \((4, 9)\) и \((9, +\infty)\). ### б) \((x+9)(x+1)(x-3) \leq 0\) 1. Нули: \(x = -9\), \(x = -1\), \(x = 3\). 2. Интервалы: \((- \infty, -9)\), \((-9, -1)\), \((-1, 3)\), \((3, +\infty)\). 3. Проверяем знаки: - \((- \infty, -9)\): Подставим \(x = -10\) ⇒ \((-10+9)(-10+1)(-10-3) > 0\) - \((-9, -1)\): Подставим \(x = -5\) ⇒ \((-5+9)(-5+1)(-5-3) < 0\) - \((-1, 3)\): Подставим \(x = 0\) ⇒ \((0+9)(0+1)(0-3) < 0\) - \((3, +\infty)\): Подставим \(x = 4\) ⇒ \((4+9)(4+1)(4-3) > 0\) Неравенство выполняется на интервалах: \([-9, -1]\) и \([-1, 3]\). ### в) \(x(x+1)(x+7)(x-4) > 0\) 1. Нули: \(x = 0\), \(x = -1\), \(x = -7\), \(x = 4\). 2. Интервалы: \((- \infty, -7)\), \((-7, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 4)\), \((4, +\infty)\). 3. Проверяем знаки: - \((- \infty, -7)\): Подставим \(x = -8\) ⇒ \((-)(-)(-)(-) > 0\) - \((-7, -1)\): Подставим \(x = -5\) ⇒ \((+)(-)(-)(-) < 0\) - \((-1, 0)\): Подставим \(x = -0.5\) ⇒ \((+)(-)(-)(-) < 0\) - \((0, 4)\): Подставим \(x = 2\) ⇒ \((+)(+)(+)(-) < 0\) - \((4, +\infty)\): Подставим \(x = 5\) ⇒ \((+)(+)(+)(+) > 0\) Неравенство выполняется на интервалах: \((- \infty, -7)\) и \((4, +\infty)\). ### г) \(x^3(x-1)^2(x+2) \geq 0\) 1. Нули: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -2\). 2. Интервалы: \((- \infty, -2)\), \((-2, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\). 3. Проверяем знаки: - \((- \infty, -2)\): Подставим \(x = -3\) ⇒ \((-)(-)(-) < 0\) - \((-2, 0)\): Подставим \(x = -1\) ⇒ \((-)(-)(+) > 0\) - \((0, 1)\): Подставим \(x = 0.5\) ⇒ \((+)(+)(+) > 0\) - \((1, +\infty)\): Подставим \(x = 2\) ⇒ \((+)(+)(+) > 0\) Неравенство выполняется на интервалах: \([-2, 0]\) и \([0, 1]\) включает равенство в точках \(0\) и \(1\). Если у вас есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать!