3. (1 балл) радиус вписанной в ромб окружности равен 2, острый угол ромба равен 30°. найдите площадь ромба. ответ; 32
Чтобы найти площадь ромба, когда известен радиус вписанной окружности и острый угол, можно воспользоваться следующими шагами.
Формула для площади ромба: Площадь ромба можно найти по формуле: \[ S = r \cdot P \] где \( S \) — площадь ромба, \( r \) — радиус вписанной окружности, \( P \) — периметр ромба.
Периметр ромба: Поскольку ромб имеет четыре равные стороны, периметр можно выразить через длину одной стороны \( a \): \[ P = 4a \]
Формула радиуса вписанной окружности: Радиус вписанной окружности \( r \) ромба равен: \[ r = \frac{S}{P} \] Подставляя периметр, получаем: \[ r = \frac{S}{4a} \]
Из этого следует: \[ S = 4ar \]
Определение длины стороны через угол и радиус: Мы можем выразить сторону \( a \) через радиус \( r \) и угол \( \alpha = 30^\circ \). В ромбе высота \( h \) связана с радиусом вписанной окружности следующим образом: \[ h = r = 2 \]
Высота \( h \) ромба также может быть выражена через сторону \( a \) и угол: \[ h = a \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \]
Приравняем высоту к радиусу: \[ 2 = \frac{a}{2} \implies a = 4 \]
Подсчет площади: Теперь подставим значение стороны \( a \) обратно в формулу для площади: \[ S = 4ar = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32 \]
Таким образом, площадь ромба равна \( 32 \).
