X^6+2x^4-3x^2=0
Чтобы решить уравнение \( x^6 + 2x^4 - 3x^2 = 0 \), давайте сначала упростим его. Мы можем заметить, что все члены имеют общий множитель \( x^2 \). Поэтому мы можем вынести \( x^2 \) за скобки:
\[ x^2 (x^4 + 2x^2 - 3) = 0. \]
Теперь у нас есть произведение равно нулю. Это означает, что либо \( x^2 = 0 \), либо \( x^4 + 2x^2 - 3 = 0 \).
- Решаем первое уравнение:
\[ x^2 = 0. \]
Это приводит нас к решению:
\[ x = 0. \]
- Решаем второе уравнение:
Теперь давайте сосредоточимся на уравнении \( x^4 + 2x^2 - 3 = 0 \). Чтобы упростить его, сделаем замену: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:
\[ y^2 + 2y - 3 = 0. \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = 2, c = -3 \). Подставим эти значения:
\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}. \]
Теперь находим два возможных значения для \( y \):
\[ y_1 = \frac{2}{2} = 1, \] \[ y_2 = \frac{-6}{2} = -3. \]
Поскольку \( y = x^2 \), мы знаем, что \( x^2 = 1 \) даёт:
\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1. \]
Значение \( y = -3 \) не подходит, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Таким образом, у нас есть три решения нашего первоначального уравнения:
\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1. \]
В заключение, все решения уравнения \( x^6 + 2x^4 - 3x^2 = 0 \):
\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1. \]
