Докажите что сумма внешних углов выпуклого многоугольника взятых по одному при каждой вершине равно 360°
Давайте рассмотрим, как можно доказать, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Определение внешнего угла: Внешний угол можно определить как угол между стороной многоугольника и продолжением соседней стороны. Это значит, что для каждой вершины многоугольника есть свой внешний угол.
Сумма внутренних углов: Напоминаю, что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с \( n \) вершинами равна \( (n-2) \times 180° \).
Связь внутренних и внешних углов: При каждом внутреннем угле многоугольника его внешний угол является дополнительным углом. Это означает, что сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине равна 180°: \[ Внутренний угол + Внешний угол = 180°. \]
Перепись для всех вершин: Если мы сложим все внешние углы, используя формулу для внутренних углов, у нас получится: \[ (n-2) \times 180° + Сумма внешних углов = n \times 180°. \] Здесь \( n \) — количество вершин многоугольника.
Преобразование: Из этого уравнения можно выразить сумму внешних углов: \[ Сумма внешних углов = n \times 180° - (n-2) \times 180°. \] Упростим это выражение: \[ Сумма внешних углов = n \times 180° - (n \times 180° - 360°) = 360°. \]
Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, действительно равна 360°.
