(x-3)²(x+5)(x-1)<0

Чтобы решить неравенство (x-3)²(x+5)(x-1)<0, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни уравнения: У нас есть три множителя:

   • (x-3)² = 0 → x = 3 (корень имеет кратность 2)
   • (x+5) = 0 → x = -5
   • (x-1) = 0 → x = 1

   Таким образом, корни неравенства: x = -5, x = 1, x = 3.

2. Определим знаки каждого множителя: Поскольку мы имеем множители, квадрат (x-3)² всегда неотрицателен (больше или равно 0). Поэтому наши критические точки делят числовую прямую на интервалы.

3. Рассмотрим интервалы:

   • (-∞, -5)
   • (-5, 1)
   • (1, 3)
   • (3, +∞)

4. Проверим знак на каждом интервале:

   • Для x < -5, например, x = -6: \[(x-3)² > 0,\ (x+5) < 0,\ (x-1) < 0\] \[-positive \times negative \times negative = positive\]
   • Для -5 < x < 1, например, x = 0: \[(x-3)² > 0,\ (x+5) > 0,\ (x-1) < 0\] \[positive \times positive \times negative = negative\]
   • Для 1 < x < 3, например, x = 2: \[(x-3)² > 0,\ (x+5) > 0,\ (x-1) > 0\] \[positive \times positive \times positive = positive\]
   • Для x > 3, например, x = 4: \[(x-3)² > 0,\ (x+5) > 0,\ (x-1) > 0\] \[positive \times positive \times positive = positive\]

5. Составим ответ: Мы ищем интервалы, где произведение меньше нуля. Это происходит только в интервале (-5, 1).

Таким образом, решение неравенства (x-3)²(x+5)(x-1) < 0: \[ x \in (-5, 1) \]

Надеюсь, это разъяснение помогло понять, как решать подобные неравенства!