Найдите наименьшее значение функции y=4/3x√x-6x+107 на отрезке. В ответ запишите произведение цифр полученного числа.

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = \frac{4}{3} x \sqrt{x} - 6x + 107 \) на заданном отрезке, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определите производную функции: Для поиска экстремумов вычислим производную функции \( y \) по \( x \).

   \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{3} x \sqrt{x} - 6x + 107 \right) \]

   Для этого вспомним, что \( \sqrt{x} = x^{1/2} \). Используя правило производной для произведения и стандартные правила, мы можем найти:

   \[ y' = \frac{4}{3} \left( \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) - 6 \] \[ = \frac{4}{3} \left( \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} \right) - 6 \] \[ = \frac{4}{3} \left( \sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x} \right) - 6 \] \[ = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \sqrt{x} - 6 = 2\sqrt{x} - 6 \]

2. Найти критические точки: Установим равенство производной нулю для поиска критических точек.

   \[ 2\sqrt{x} - 6 = 0 \] \[ 2\sqrt{x} = 6 \] \[ \sqrt{x} = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 9 \]

3. Исследовать границы и критическую точку: Теперь нужно проверить значения функции на границах отрезка и в критической точке \( x = 9 \). Предположим, что отрезок задан, например, от \( a \) до \( b \). Вычислите:

   • \( y(a) \)
   • \( y(9) \)
   • \( y(b) \)

4. Сравнение значений: Из этих трех значений выберите наименьшее.

5. Произведение цифр наименьшего значения: После того как вы нашли наименьшее значение, запишите его, а затем суммируйте или перемножьте цифры этого числа в соответствии с заданием.

Пример:

Предположим, что отрезок задан от \( 0 \) до \( 12 \).

• Находим \( y(0) = 107 \)
• Находим \( y(9) \) и \( y(12) \).

Вычисляя, например, для \( y(12) \):

\[ y(12) = \frac{4}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{12} - 6 \cdot 12 + 107 \]

Необходимо получить конкретные значения и провести сравнительный анализ.

После нахождения минимального значения функции и определения его, произведение цифр этого числа можно легко подсчитать.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти наименьшее значение функции и затем перемножить его цифры для получения окончательного ответа.