Выбери правильные промежутки, на котором функция f(x) =2x+4/x^2 убывает. Варианты ответов 1) (-бесконечность, -4) ; 2) (2, + бесконечность) ; 3)( -5, -2) ; 4)(-1, 1) 5)( -бесконечность, 0) 6) (1/5, +бесконечность)
Чтобы определить, на каких промежутках функция \( f(x) = \frac{2x + 4}{x^2} \) убывает, сначала найдём её производную и изучим её знаки.
- Найдем производную функции \( f(x) \). Для этого используем правило производной дроби:
\[ f'(x) = \frac{(x^2)(2) - (2x + 4)(2x)}{(x^2)^2} \]
Упростим числитель:
\[ f'(x) = \frac{2x^2 - (4x^2 + 8x)}{x^4} = \frac{2x^2 - 4x^2 - 8x}{x^4} = \frac{-2x^2 - 8x}{x^4} \]
Таким образом, производная у нас:
\[ f'(x) = \frac{-2x(x + 4)}{x^4} \]
- Теперь найдем, когда производная меньше нуля, что укажет на убывание функции. Для этого обратим внимание на числитель:
\[ -2x(x + 4) < 0 \]
Рассмотрим, при каких \( x \) этот множитель меньше нуля:
- \( -2x < 0 \) при \( x > 0 \)
- \( x + 4 < 0 \) при \( x < -4 \)
Теперь определим интервалы:
- Для \( x < -4 \): производная \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)
- Для \( -4 < x < 0 \): производная \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)
- Для \( x > 0 \): производная \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)
Таким образом, функция убывает на интервалах:
- \( (-4, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Теперь мы смотрим на предложенные варианты ответов:
- (-бесконечность, -4) – не подходит
- (2, +бесконечность) – не подходит
- (-5, -2) – не подходит
- (-1, 1) – функция убывает в \( (-1, 0) \), подходит частично
- (-бесконечность, 0) – подходит
- (1/5, +бесконечность) – не подходит
Таким образом, наибольший корректный промежуток, где функция убывает, это \( (-4, 0) \). Из предложенных вариантов наибольшую соответствие имеет вариант 5) \( (-бесконечность, 0) \).
