3x-5y=13 2x+7y=81 найти матричным методом
Чтобы решить систему уравнений:
- \(3x - 5y = 13\)
- \(2x + 7y = 81\)
матричным методом, нам нужно представить систему в виде матричного уравнения \(AX = B\), где \(A\) — это матрица коэффициентов, \(X\) — вектор переменных, а \(B\) — вектор свободных членов.
- Запишем матрицу коэффициентов \(A\) и вектора \(X\) и \(B\):
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 13 \\ 81 \end{pmatrix} \]
Таким образом, мы можем записать:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 81 \end{pmatrix} \]
- Далее найдём определитель матрицы \(A\):
\[ \text{det}(A) = 3 \cdot 7 - (-5) \cdot 2 = 21 + 10 = 31 \]
Поскольку определитель не равен нулю, матрица обратима, и мы можем найти решение.
- Теперь нам нужно найти обратную матрицу \(A^{-1}\). Обратная матрица для \(2 \times 2\) матрицы вычисляется по формуле:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
где \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\) — это элементы матрицы \(A\). В нашем случае:
\[ A^{-1} = \frac{1}{31} \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \]
- Умножим обе стороны уравнения \(AX = B\) на \(A^{-1}\):
\[ X = A^{-1}B \]
Теперь подставим \(B\):
\[ X = \frac{1}{31} \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 \\ 81 \end{pmatrix} \]
- Выполним умножение матриц:
\[ X = \frac{1}{31} \begin{pmatrix} 7 \cdot 13 + 5 \cdot 81 \\ -2 \cdot 13 + 3 \cdot 81 \end{pmatrix} \]
Посчитаем:
- Первое выражение: \(7 \cdot 13 + 5 \cdot 81 = 91 + 405 = 496\)
- Второе выражение: \(-2 \cdot 13 + 3 \cdot 81 = -26 + 243 = 217\)
Итак,
\[ X = \frac{1}{31} \begin{pmatrix} 496 \\ 217 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{496}{31} \\ \frac{217}{31} \end{pmatrix} \]
- Теперь найдем значения \(x\) и \(y\):
\[ x = \frac{496}{31} = 16, \quad y = \frac{217}{31} = 7 \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = 16, \quad y = 7 \]
