Решите неравенства методом интервала (х-1)(2х-5)____2-х <0

Давайте решим неравенство методом интервала. Неравенство, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

\[ (x - 1)(2x - 5) < 2 - x \]

Сначала перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[ (x - 1)(2x - 5) + x - 2 < 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (2x^2 - 5x - 2x + 5) + x - 2 < 0 \] \[ 2x^2 - 6x + 3 < 0 \]

Теперь мы можем решить это неравенство, найдя корни соответствующего квадратного уравнения:

\[ 2x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} \]

Теперь обозначим корни:

\[ x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \]

Сейчас у нас есть два корня, и мы можем определить интервалы, на которых будет исследоваться знак выражения \(2x^2 - 6x + 3\):

1. \( (-\infty, x_1) \)
2. \( (x_1, x_2) \)
3. \( (x_2, +\infty) \)

Выберем тестовые точки из этих интервалов и подставим их в исходное выражение:

1. Для интервала \( (-\infty, x_1) \), возьмем, к примеру, \( x = 0 \):

\[ 2(0)^2 - 6(0) + 3 = 3 > 0 \]

2. Для интервала \( (x_1, x_2) \), возьмем \( x = 2 \):

\[ 2(2)^2 - 6(2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 < 0 \]

3. Для интервала \( (x_2, +\infty) \), возьмем \( x = 4 \):

\[ 2(4)^2 - 6(4) + 3 = 32 - 24 + 3 = 11 > 0 \]

Теперь у нас есть знаки на интервалах:

• На \( (-\infty, x_1) \) — положительный
• На \( (x_1, x_2) \) — отрицательный
• На \( (x_2, +\infty) \) — положительный

Неравенство \(2x^2 - 6x + 3 < 0\) выполняется только на интервале \( (x_1, x_2) \).

Таким образом, окончательный ответ будет:

\[ \left( \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \right) \]